第六节 直接证明与间接证明2019 考纲考题考情1．直接证明2.间接证明反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。1．分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用。2．利用反证法证明的特点，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的。一、走进教材1．(选修 1－2P42练习 T1改编)对于任意角 θ，化简 cos4θ－sin4θ＝( )A．2sinθ B．2cosθ C．sin2θ D．cos2θ解析 因为 cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ。故选 D。答案 D2．(选修 1－2P42练习 T2改编)若 P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则 P，Q 的大小关系是( )A．P>QB．P＝QC．P
Q，只需 P2>Q2，即 2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需 a2＋13a＋42>a2＋13a＋40。因为 42>40 成立，所以 P>Q 成立。故选 A。答案 A二、走出误区微提醒：①“至少”否定出错；②应用分析法寻找的条件不充分；③不会用反证法解题。3．利用反证法证明“已知 a>0，b>0，且 a＋b>2，证明，中至少有一个小于 2”时的反设是________。解析 假设，都不小于 2，则≥2 且≥2。答案 ≥2 且≥24．若用分析法证明“设 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，求证0；② a－c>0；③(a－b)(a－c)>0；④(a－b)(a－c)<0。解析 由 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，可得 b＝－a－c，a>0，c<0，要证0，即证 a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0。答案 ③5．设 a，b，c 都是正数，则 a＋，b＋，c＋三个数( )A．都大于 2 B．都小于 2C．至少有一个不大于 2 D．至少有一个不小于 2解析 因为＋＋＝＋＋≥6，当且仅当 a＝b＝c＝1 时取等号，所以三个数中至少有一个不小于 2。故选 D。答案 D考点一分析法【例 1】 已知 a，b∈R，a>b>e(其中 e 是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab。证明 因为 a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证 ba>ab，只需证 alnb>blna，只需证>。取函数 f(x)＝，因为 f′(x)＝，所以当 x>e 时，f′(x)<0，所以函数 f(x)在(e，＋∞...
