第二课时 解三角形的综合应用考点一 解三角形的实际应用 多维探究角度 1 测量距离问题【例 1－1】 如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为 300 m 且 和 P ， Q 两 点 在 同 一 平 面 内 的 路 段 AB 的 两 个 端 点 作 为 观 测 点 ， 现 测 得 ∠ PAB ＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则 P，Q 两点间的距离为________ m.解析 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°，又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又 PB 为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.在 Rt△PAB 中，AP＝AB·tan 60°＝900，故 PQ＝900，∴P，Q 两点间的距离为 900 m.答案 900规律方法 距离问题的类型及解法：(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.角度 2 测量高度问题【例 1－2】 如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°，则塔高AB 等于( )A.5 B.15 C.5 D.15解析 在△BCD 中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以 BC＝15.在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.答案 D规律方法 1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.角度 3 测量角度问题【例 1－3】 已知岛 A 南偏西 38°方向，距岛 A3 海里的 B 处有一艘缉私艇.岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛屿北偏西 22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？解 如图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时 x海里，则 BC＝0.5x，AC＝5，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，所以 BC2＝49，所以 BC＝0.5x＝7，解得 x＝14.又由正弦定理得 sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以 BC∥AD，故缉私艇以每小时 14 海里的速...
