第 37 课 三角函数的性质(2) 表中函数周期性 与周期 的周期 奇偶性奇函数偶函数奇函数，当时，为奇函数，当 时，为偶函数，当 时，为非奇非偶函数对称中心 对称轴 无【例 1】 (2013 韶关二模）函数是（ ）A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数【答案】A【解析】 ，∴该函数是以周期为的奇函数．【 例 2 】 （ 2013 潍 坊 一 模 ） 定 义 运 算， 若 函 数，则将的图象向右平移个单位所得曲线的一条对称轴的方程是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由定义可知,， 将的图象向右平移个单位得到， ，故选 A．【变式】（2013 广州二模）若函数的一个对称中心是，则的最小值为（ ）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】 的一个对称中心是，∴，，∴， ，∴．【例 3】(2013 惠州一模）已知，（，其中）的周期为，且图像上一个最低点为．（1）求的解析式；（2）当时，求的值域．【解析】（1）由的周期为，∴，则有
函数图像有一个最低点，， ∴，且， ∴，解得， ，∴． ∴， （2）当时，， ∴， ∴．即的值域为．【例 4】已知函数 为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为
(1)求 的值；(2)将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求的单调递减区间．【解析】 (1) ．因为为偶函数，所以对 恒成立，因此,即 ，整理得
因为，且 ，所以
又因为，故，所以
由题意得，所以
(2)将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到的图象．所以．当，即 时，单调递减，因此的单调递减区间为．第 37 课 三角函数的性质(2)的课后练习1．（2013 上海高考）既是偶函数
