数列热点问题 三年真题考情核心热点真题印证核心素养等比(差)数列的判定与证明2019·全国Ⅱ，19；2018·全国Ⅰ，17；2017·全国Ⅰ，17逻辑推理、数学运算通项与求和2019·天津，19；2018·全国Ⅱ，17；2018·全国Ⅲ，17数学运算、数学建模等差与等比数列的综合问题2019·全国Ⅰ，18；2019·全国Ⅱ，18；2019·北京，16；2017·全国Ⅱ，17；2018·天津，18；2018·全国Ⅰ，17；2018·浙江，20数学运算、逻辑推理 热点聚焦突破教材链接高考——等比(差)数列的判定与证明[教材探究]1.(必修 5P50 例 2)根据图 2.4－2 中的框图(图略，教材中的图)，写出所打印数列的前 5 项，并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗？2.(必修 5P69B6)已知数列{an}中，a1＝5，a2＝2，且 an＝2an－1＋3an－2(n≥3).对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？[试题评析] (1)题目以程序框图为载体给出递推数列{an}，其中 a1＝1，an＝an－1(n>1).进而由递推公式写出前 5 项，并利用定义判断数列{an}是等比数列.(2)题目以递推形式给出数列，构造数列模型 bn＝an＋an－1(n≥2)，cn＝an－3an－1(n≥2)，利用等比数列定义不难得到{bn}，{cn}是等比数列，进而求出数列{an}的通项公式.两题均从递推关系入手，考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑推理等数学核心素养.【教材拓展】 (2019·绵阳检测)已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝1＋2＋3＋…＋n.(1)求证：数列是等差数列；(2)若 bn＝，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.(1)证明 nan＋1－(n＋1)an＝1＋2＋3＋…＋n＝，∴－＝－＝，∴数列是首项为 1，公差为的等差数列.(2)解 由(1)知，＝1＋(n－1)＝，∴an＝.∴bn＝＝＝2.∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2(1－＋－＋…＋－)＝.探究提高 由数列的递推公式证明数列是等差或等比数列，并求其通项公式是数列命题的常见题型，解题的关键是通过适当的变形，转化为等差、等比等特殊的数列问题.【链接高考】 (2019·全国Ⅱ卷)已知数列{an}和{bn}满足 a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式.(1)证明 由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝(an＋bn).又因为 a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为的等比数列.由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为 a1－b1...
