第 9 讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布[考纲解读] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，并能根据分布列正确求出期望与方差，并能解决一些实际问题．(重点、难点)2．借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，掌握正态曲线的相关性质，并能进行正确求解．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点题型．预计 2021 年将会考查：①与分布列相结合求期望与方差，通过设置密切贴近现实生活的情景，考查概率思想的应用意识和创新意识；②正态分布的考查，尤其是正态总体在某一区间内的概率．题型为解答题中的一问，试题难度不会太大，属中档题型.1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称 E(X)＝□x1p1＋ x 2p2＋ … ＋ x ipi＋ … ＋ x npn 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的□平均水平．(2)D(X)＝(xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值E(X)的□平均偏离程度，其算术平方根为随机变量 X 的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝□aE ( X ) ＋ b ；(2)D(aX＋b)＝□a 2 D ( X ) (a，b 为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差XX 服从两点分布X～B(n，p)E(X)□p□npD(X)□p (1 － p ) □np (1 － p ) 4．正态曲线(1)正态曲线的定义函数 φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ(σ>0)为参数，称 φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ 是正态分布的期望，σ 是正态分布的标准差)．(2)正态曲线的特点① 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；② 曲线是单峰的，关于直线□x ＝ μ 对称；③ 曲线在□x ＝ μ 处达到峰值；④ 曲线与 x 轴之间的面积为 1；⑤ 当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移；⑥ 当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，□σ 越小 ，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；□σ 越大 ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．5.正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数 a，b(a
