§3.2 导数与函数的单调性最新考纲考情考向分析了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).考查函数的单调性，利用函数的单调性求参数范围；强化分类讨论思想；题型以解答题为主，一般难度较大.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数 y＝f (x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f (x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0f (x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f (x)在(a，b)内是常数函数概念方法微思考“f (x)在区间(a，b)上是增函数，则 f′(x)>0 在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示 不正确，正确的说法是：可导函数 f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且 f′(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数 f (x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f (x)在此区间内没有单调性．( √ )(2)如果函数 f (x)在某个区间内恒有 f′(x)≥0，则 f (x)在此区间内单调递增．( × )(3)在(a，b)内 f′(x)≤0 且 f′(x)＝0 的根有有限个，则 f (x)在(a，b)内是减函数．( √ )题组二 教材改编2.如图是函数 y＝f (x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )1A．在区间(－2,1)上 f (x)是增函数B．在区间(1,3)上 f (x)是减函数C．在区间(4,5)上 f (x)是增函数D．在区间(3,5)上 f (x)是增函数答案 C解析 在(4,5)上 f′(x)>0 恒成立，∴f (x)是增函数．3．函数 f (x)＝cosx－x 在(0，π)上的单调性是( )A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数答案 D解析 因为在(0，π)上恒有 f′(x)＝－sinx－1<0.所以 f (x)在(0，π)上是减函数，故选 D.4．函数 f (x)＝ex－x 的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案 (0，＋∞) (－∞，0)解析 由 f′(x)＝ex－1>0，解得 x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)；由 f′(x)<0，解得x<0，故其单调递减区间为(－∞，0)．题组三 易错自纠5．若 y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上是增函数，则 a 的取值范围是________．答案 (0,2]解析 由 y′＝1－≥0，得 x≤－a 或 x≥a.∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)． 函数在[2，＋∞)上单调递增，∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又 a>0，∴0
