第二节 利用导数解决函数的单调性问题［最新考纲］ 1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不会超过三次） 函数的单调性与导数的关系条件结论函数 y＝f（x）在区间（a，b）上可导f′（x）＞0f（x）在（a，b）内单调递增f′（x）＜0f（x）在（a，b）内单调递减f′（x）＝0f（x）在（a，b）内是常数函数［常用结论］1.在某区间内 f′（x）＞0（f′（x）＜0）是函数 f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件.2.可导函数 f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是对 ∀ x ∈ （ a ， b ），都有 f ′ （ x ）≥ 0 （ f ′ （ x ）≤ 0 ）且 f ′ （ x ）在（ a ， b ）上的任何子区间内都不恒为零 .一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若函数 f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有 f′（x）＞0.（ ）（2）如果函数 f（x）在某个区间内恒有 f′（x）＝0，则 f（x）在此区间内没有单调性.（ ）（3）在（a，b）内 f′（x）≤0 且 f′（x）＝0 的根有有限个，则 f（x）在（a，b）内是减函数.（ ）［答案］ （1）× （2）√ （3）√二、教材改编1.如图是函数 y＝f（x）的导函数 y＝f′（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）A.在区间（－3,1）上 f（x）是增函数B.在区间（1,3）上 f（x）是减函数C.在区间（4,5）上 f（x）是增函数D.在区间（3,5）上 f（x）是增函数C ［由图象可知，当 x∈（4,5）时，f′（x）＞0，故 f（x）在（4,5）上是增函数.］2.函数 f（x）＝cos x－x 在（0，π）上的单调性是（ ）A.先增后减 B.先减后增C.增函数 D.减函数D ［因为 f′（x）＝－sin x－1＜0 在（0，π）上恒成立，所以 f（x）在（0，π）上是减函数，故选 D.］3.函数 f（x）＝x－ln x 的单调递减区间为 .（0,1］ ［函数 f（x）的定义域为{x|x＞0}，由 f′（x）＝1－≤0，得 0＜x≤1，所以函数 f（x）的单调递减区间为（0,1］.］4.已知 f（x）＝x3－ax 在［1，＋∞）上是增函数，则实数 a 的最大值是 .3 ［f′（x）＝3x2－a≥0，即 a≤3x2，又因为 x∈［1，＋∞ ），所以 a≤3，即 a 的最大值是 3.］考点 1 不含参数函数的单调性 求函数单调区间的步骤（1）确定函数 f（x）的定义域.（2）求 f′（x）.（3）在定义域内解不等式 f′（x）＞0，得单调递增区间....
