高考数学 考点一遍过 专题12 导数的应用（含解析）理试题VIP免费

考点12导数的应用1．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.2．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.一、导数与函数的单调性一般地，在某个区间(a,b)内：（1）如果()0fx，函数f(x)在这个区间内单调递增;（2）如果()0fx，函数f(x)在这个区间内单调递减;（3）如果()=0fx，函数f(x)在这个区间内是常数函数．注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0fx(()0fx)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3()fxx在定义域(,)上是增函数，但2()30fxx.（3）函数f(x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()0fx(()0fx)在(a,b)内恒成立，且()fx在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0fx,不影响函数f(x)在区间内的单调性.二、利用导数研究函数的极值和最值1．函数的极值一般地，对于函数y=f(x)，（1）若在点x=a处有f′(a)=0，且在点x=a附近的左侧()0f'x，右侧()0f'x，则称x=a为f(x)的极小值点，()fa叫做函数f(x)的极小值.（2）若在点x=b处有()f'b=0，且在点x=b附近的左侧()0f'x，右侧()0f'x，则称x=b为f(x)的极大值点，()fb叫做函数f(x)的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.2．函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[,]ab上函数yfx的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，求fx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤为：（1）求fx在(,)ab内的极值；（2）将函数fx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]ab的整体而言；（2）在函数的定义区间[,]ab内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.三、生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.解决优化问题的基本思路是：考向一利用导数研究函数的单调性1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0fx（()0fx）在给定区间上恒成立．一般步骤为：（1）求f′(x)；（2）确认f′(x)在(a,b)内的符号；（3）作出结论，()0fx时为增函数，()0fx时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3．由函数fx的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上0fx(或0fx)(fx在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0fx(或()0fx)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知fx在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出fx的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出...