习题 3—1 1。 推断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一、１); 2); ３)。解 1)因为及在整个平面上连续,所以在整个平面上满足存在唯一性定理得条件,因此在整个平面上初值解存在且唯一.2)因为除轴外,在整个平面上连续,在在整个平面上有界,所以除轴外,在整个平面上初值解存在且唯一。3)设,则故在得任何有界闭区域上,及都连续,所以除轴外,在整个平面上初值解存在且唯一。2、 求初值问题 R:、得解得存在区间.并求第二次近似解,给出在解得存在区间得误差估量.解 设,则,,所以。显然,方程在 R 上满足解得存在唯一性定理,故过点得解得存在区间为:。设就是方程得解,就是第二次近似解,则,,、在区间上,与得误差为 .取,故。3。 讨论方程在怎样得区域中满足解得存在唯一性定理得条件.并求通过点得一切解。解 设,则。故在得任何有界闭区域上及都就是连续得,因而方程在这种区域中满足解得存在唯一性定理得条件。显然,就是过得一个解、又由解得、其中.所以通过点得一切解为及如图。４、 试求初值问题,,得毕卡序列,并由此取极限求解、解 按初值问题取零次近似为,一次近似为 ,二次近似为 ,三次近似为 ,四次近似为 ,五次近似为 ,一般地,利用数学归纳法可得次近似为 ,所以取极限得原方程得解为。５。 设连续函数对就是递减得,则初值问题,得右侧解就是唯一得。证 设,就是初值问题得两个解,令,则有。下面要证明得就是当时,有。用反证法.假设当时,不恒等于 0,即存在,使得,不妨设,由得连续性及,必有,使得,,。又对于,有,,,则有,。由()以及对就是递减得,可以知道:上式左端大于零,而右端小于零。这一矛盾结果,说明假设不成立,即当时,有。从而证明方程得右侧解就是唯一得.习题 3-31. 利用定理５证明:线性微分方程 () 得每一个解得(最大)存在区间为,这里假设在区间上就是连续得。证 在任何条形区域(其中)中连续,取,,则有。故由定理５知道,方程得每一个解在区间中存在,由于就是任意选取得,不难瞧出可被延拓到整个区间上、2. 讨论下列微分方程解得存在区间: 1); 2); 3)、解 1)因在整个平面上连续可微,所以对任意初始点,方程满足初始条件得解存在唯一.这个方程得通解为.显然,均就是该方程在上得解.现以,为界将整个平面分为三个区域来讨论。ⅰ)在区域内任一点,方程满足得解存在唯一.由延伸定理知,它可以向左、右延伸,但不能与,两直线相交,因而解得存在区间为.又在内,,则方程满足得解递减,当时,以为渐近线,当时,以为渐近线.ⅱ)在区域中,对任...
