微专题 2 函数与方程、函数的实际应用命 题 者 说考 题 统 计考 情 点 击2018·全国卷Ⅰ·T9·函数的零点2018·全国卷Ⅲ·T15·函数的零点2018·浙江高考·T11·方程组的实际应用2017·全国卷Ⅲ·T11·函数的零点 从近 5 年高考情况来看，本部分内容一直是高考的热点，尤其是对函数的零点、方程的根的个数的判定及利用零点存在性定理判断零点是否存在和零点存在区间的考查较为频繁，一般会将本部分内容知识与函数的图象和性质结合起来考查，综合性较强，一般以选择题、填空题形式出现，解题时要充分利用函数与方程、数形结合等思想。考向一 判断函数零点的个数或所在区间【例 1】 (1)函数 f (x)＝log2x－的零点所在的区间为( )A． B．C．(1,2) D．(2,3)(2)函数 f (x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________。解析 (1)函数 f (x)的定义域为(0，＋∞)，且函数 f (x)在(0，＋∞)上为增函数。f ＝log2－＝－1－2＝－3<0，f (1)＝log21－＝0－1<0，f (2)＝log22－＝1－＝>0，f (3)＝log23－>1－＝>0，即 f (1)·f (2)<0，所以函数 f (x)＝log2x－的零点在区间(1,2)内。故选 C。(2)f (x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令 f (x)＝0，得 sin2x＝|ln(x＋1)|。在同一坐标系中作出两个函数 y＝sin2x 与函数 y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示。令 ln(x＋1)＝1，则 x＝e－1。观察图象可知，两函数图象有 2 个交点，故函数 f (x)有 2 个零点。答案 (1)C (2)2(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：① 函数零点值大致存在区间的确定。② 零点个数的确定。③ 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定。(2)判断函数零点个数的主要方法：① 解方程 f (x)＝0，直接求零点。② 利用零点存在定理。③ 数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题。 变|式|训|练1．(2018·南宁摸底)设函数 f (x)＝lnx－2x＋6，则 f (x)零点的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0解析 令 f (x)＝0，则 lnx＝2x－6，令 g(x)＝lnx，h(x)＝2x－6(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数 f (x)零点的个数，容易看出函数 f (x)零点的个数为 2，故选 B。答案 B2．已知函数 f (x)满足：①定义域为 R；②∀x∈R，都有...
