导数与定积分（尖刀班）(4)【探究 11】 利用导数证明不等式思路提示利用导数证明不等式常用的方法是构造辅助函数，通过构造辅助函数将不等式的证明问题转化为函数的单调性证明或函数的最值问题．例 18 设为实数，函数（１）求的单调区间与极值；（２）求证：当且时分析 构造辅助函数，转化为证明函数在上恒大于０．解析 （1）由知，令得，于是当变化时，的变化如表 3-12 所示表 3-120极小值故的单调减区间是，单调增区间是，在处取得最小值，．（２）设，于是．由（１）知当时，的最小值为．于是对任意，都有，所以在Ｒ上单调递增，于是当时，对都有，而，从而，即，故．评注 一般地，要证，在区间Ｉ上恒成立，构造辅助函数，通过分析的单调性，从而求出在Ｉ上的最小值，只要能证明，就可证明．变式１ 设．（１）令，讨论在上的单调性并求极值；（２）求证：当时，恒有变式 2 已知函数的图象在点处的切线方程为．（1）用表示出；（2）若在上恒成立，求的取值范围．（3）证明：变式 3 （2012 山东理 22）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意.三．方法提升1．用定义求导数的步骤（1）求函数的改变量 ；（2）：求平均变化率 （3）、取极限（2）导数物理意义与几何意义（3）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则；（4）求切线方程时已知点是否切点至关重要。2、求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.3、构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.4、通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.四、反思感悟： 五、课后作业（1）一、选择题1．（江西）对于上可导的任意函数，若满足≥，则必有(D) ≤ ≥ 2． 设函数，在上均可导，且，则当时，有(C) 3、的导函数的图象如图所示，则的图象最有可能的是(C) 4、，，， … ，，， 则 =(A) 5、若曲线的一条切线 与直线垂直，则 的方程为(A) ；；；6、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D) 二、填空题：7、（届高三皖南八校联考）已知，则 -4 8、已知，则 三、解答题：9、求下列函数的导数：； ；； ；； ； 10．设,点 P（t，0）是函数 与函数的图...
