高中数学第十四章 导 数导 数14. 导 数导 数 知识要点知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处 有 增 量， 则 函 数 值也 引 起 相 应 的 增 量； 比 值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.② 以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.2. 函数在点处连续与点处可导的关系：⑴ 函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.导 数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.事实上，令，则相当于.于是⑵ 如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0 时，；当＜0 时，，故不存在.注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.② 可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也 就 是 说 ， 曲 线在 点 P处 的 切 线 的 斜 率 是， 切 线 方 程 为4. 求导数的四则运算法则：（ 为常数）注：①必须是可导函数.② 若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设，，则在处均不可导，但它们和在处均可导.5. 复合函数的求导法则：或复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴ 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.⑵ 常数的判定方法；如果函数在区间内恒有=0，则为常数.注：①是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即 x=0 时 f（x） = 0，同样是 f（x）递减的充分非必要条件.② 一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时，① 如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；② 如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①....
