高中数学第十三章-极 限极 限13. 极 限极 限 知识要点知识要点1. ⑴ 第 一 数 学 归 纳 法 ： ① 证 明 当取 第 一 个时 结 论 正 确 ； ② 假 设 当（）时，结论正确，证明当时，结论成立.⑵ 第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果① 当（）时，成立；② 假设当（）时，成立，推得时，也成立.那么，根据①②对一切自然数时，都成立.2. ⑴ 数列极限的表示方法：①② 当时，.⑵ 几个常用极限：①（为常数）②③ 对于任意实常数，当时，当时，若 a = 1，则；若，则不存在当时，不存在⑶ 数列极限的四则运算法则：如果，那么①②③特别地，如果 C 是常数，那么.⑷ 数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为.（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；⑴ 当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作或当时，.注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.（当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关.函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.）如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.⑵ 函数极限的四则运算法则：如果，那么①②③特别地，如果 C 是常数，那么.（）注：①各个函数的极限都应存在.② 四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.⑶ 几个常用极限：①②（0＜＜1）；（＞1）③④，（）4. 函数的连续性：⑴ 如 果 函 数 f （ x ） ， g （ x ） 在 某 一 点连 续 ， 那 么 函 数在点处都连续.⑵ 函数 f（x）在点处连续必须满足三个条件：① 函数 f（x）在点处有定义；②存在；③函数 f（x）在点处的极限值等于该点的函数值，即.⑶ 函数 f（x）在点处不连续（间断）的判定：如果函数 f（x）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数 f（x）的不连续点.①f（x）在点处没有定义，即不存在；②不存在；③存在，但.5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴ 零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（＜＜）使.⑵ 介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（＜＜）.⑶ 夹逼定理：设当时，有≤≤，且，则必有注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.（为最小整数）6. 几个常用极限：①②③为常数）④⑤为常数）
