第 20 讲 坐标系与参数方程1.[2016·全国卷Ⅰ] 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为{x=acos t ,y=1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cosθ.(1)说明 C1是哪一种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程;(2)直线 C3的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0满足 tanα0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上,求 a.[试做] 2.[2017·全国卷Ⅲ] 在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为{x=2+t ,y=kt (t 为参数),直线l2的参数方程为{x=−2+m ,y=mk(m 为参数).设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:ρ(cosθ+sinθ)-❑√2=0,M 为l3与 C 的交点,求 M 的极径.[试做] 命题角度 坐标系与参数方程(1)利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 以及 ρ2=x2+y2可将极坐标方程与直角坐标方程互化.(2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元法、平方消元法、代入法等.在参数方程与普通方程的互化过程中,必须使两种方程中的 x,y 的取值范围保持一致.(3)解决极坐标问题的一般思路:① 将曲线的极坐标方程联立,再根据限制条件求出极坐标;② 在对极坐标的意义和应用不太熟悉的时候,可将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点坐标,再将其化为极坐标.(4)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,一般方法是先分别化为普通方程或直角坐标方程后再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型.解答 1 极坐标与简单曲线的极坐标方程1 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x+❑√3y=5❑√3,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=4sinθ.(1)求直线 l 的极坐标方程和圆 C 的直角坐标方程;(2)射线 OP:θ=π6 (ρ≥0)与圆 C 的交点为 O,A,与直线 l 的交点为 B,求线段 AB 的长.[听课笔记] 【考场点拨】将直角坐标方程化为极坐标方程时,只要运用公式 x=ρcosθ 及 y=ρsinθ,直接代入并化简即可; 将极坐标方程化为直角坐标方程时,常用极坐标方程两边同乘(或同除以)ρ,将极坐标方程构造成含有 ρsinθ,ρcosθ,ρ2的形式,然后利用公式代换化简得到直角坐标方程.【自我检测】以平面直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且在两...
