第 15 讲 圆锥曲线的方程与性质1.[2017·全国卷Ⅲ]已知双曲线 C: x2a2- y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y=❑√52x,且与椭圆 x212+ y23=1 有公共焦点,则 C 的方程为 ( )A. x28- y210=1B. x24- y25=1C. x25- y24=1D. x24- y23=1[试做] 命题角度 考查圆锥曲线的定义(1)定性:确定圆锥曲线的类型,确定焦点的位置,从而设出标准方程.(2)列方程(组):用待定系数法列出椭圆、双曲线或抛物线中关于 a,b,c 或 p 的方程(组).(3)得到结果.注意:要考虑到圆锥曲线的焦点无法确定的情况.2.(1)[2018·全国卷Ⅲ]设 F1,F2是双曲线 C: x2a2- y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过 F2作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P.若|PF1|=❑√6|OP|,则 C 的离心率为 ( )A.❑√5B.2C.❑√3D.❑√2(2)[2018·全国卷Ⅱ]已知 F1,F2是椭圆 C: x2a2+ y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为❑√36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则 C 的离心率为 ( )A.23B.12C.13D.14(3)[2018·全国卷Ⅱ]已知 F1,F2是椭圆 C 的两个焦点,P 是 C 上的一点,若 PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则 C 的离心率为 ( )A.1-❑√32B.2-❑√3C.❑√3-12D.❑√3-1[试做] 命题角度 离心率关键一:利用已知条件和椭圆、双曲线的定义或性质列出关于 a,b,c 的方程或不等式,求出ca的值或取值范围.关键二:双曲线离心率的取值范围为(1,+∞),椭圆离心率的取值范围为(0,1).3.(1)[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点,已知|AB|=4❑√2,|DE|=2❑√5,则 C 的焦点到准线的距离为 ( )A.2B.4C.6D.8(2)[2013·全国卷Ⅱ]设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为 ( )A.y2=4x 或 y2=8xB.y2=2x 或 y2=8xC.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x[试做] 命题角度 圆与抛物线的综合问题关键一:利用抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离.关键二:注意圆的相关性质的应用.4.(1)[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与 C 交于 M,N 两点,则⃗FM·⃗FN = ( )A.5B.6C.7D.8(2)[2018·全国卷Ⅰ]已知双曲线 C: x23-y2=1,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与C 的两条渐近线的交点分...
