第四节 数列求和最新考纲数列求和的常见方法1.公式法：直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和．（1）等差数列的前 n 项和公式：Sn＝＝na1＋d.（2）等比数列的前 n 项和公式：Sn＝（3）一些常见数列的前 n 项和公式①1＋2＋3＋4＋…＋n＝.②1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n 2 .③2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n ( n ＋ 1) ． ④12＋22＋…＋n2＝.【例 1】已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前 9 项和等于________．【答案】27【解析】由 a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为 1，公差为的等差数列，故 S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.【变式训练 1】若等比数列{an}满足 a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前 n 项和 Sn＝________.【答案】Sn＝(2n－1)．【解析】 由题意 a2＋a5＝q(a1＋a4)，得 20＝q×10，故 q＝2，代入 a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得 9a1＝10，即 a1＝.故 Sn＝＝(2n－1)．2.倒序相加法：如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．3.并项求和法：在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【例 2】已知{an}是等比数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.(1)求{an}的通项公式；(2)若对任意的 n∈N*，bn是 log2an和 log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前 2n 项和.【答案】(1) an＝2n－1；(2)T2n＝2n2.【解析】(1)设数列{an}的公比为 q.由已知，有－＝，解得 q＝2 或 q＝－1.又由 S6＝a1·＝63，知 q≠－1，所以 a 1·＝63，得 a1＝1.所以 an＝2n－1.(2)由题意，得 bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－，即{bn}是首项为，公差为 1 的等差数列.设数列{(－1)nb}的前 n 项和为 Tn，则T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝2n2.【变式训练 2】数列{an}的通项公式 an＝ncos，其前 n 项和为 Sn，则 S2 016等于( )A.1 008 B.2 016 C.504 D.0【答案】A4.分组转化法求和：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．【例 3】(...
