第 1 讲 坐标系与参数方程[考情考向分析] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识．热点一 极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则例 1 (2018·佛山模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为(t 为参数，a>0)．以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1上一点 A 的极坐标为，曲线 C2的极坐标方程为 ρ＝cos θ.(1)求曲线 C1的极坐标方程；(2)设点 M，N 在 C1上，点 P 在 C2上(异于极点)，若 O，M，P，N 四点依次在同一条直线 l 上，且|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，求 l 的极坐标方程．解 (1)曲线 C1的直角坐标方程为(x－a)2＋y2＝3，化简得 x2＋y2－2ax＋a2－3＝0.又 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，所以 ρ2－2aρcos θ＋a2－3＝0.代入点，得 a2－a－2＝0，解得 a＝2 或 a＝－1(舍去)．所以曲线 C1的极坐标方程为 ρ2－4ρcos θ＋1＝0.(2)由题意知，设直线 l 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R)，设点 M，N，P，则 ρ1<ρ3<ρ2.联立得 ρ2－4ρcos α＋1＝0，所以 ρ1＋ρ2＝4cos α，ρ1ρ2＝1.联立得 ρ3＝cos α.因为|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，所以 ρ＝(ρ3－ρ1)(ρ2－ρ3)，即 2ρ＝(ρ1＋ρ2)ρ3－ρ1ρ2.所以 2cos2α＝4cos2α－1，解得 cos α＝(舍负)．经检验，满足 O，M，P，N 四点依次在同一条直线上，所以 l 的极坐标方程为 θ＝±(ρ∈R)．思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．跟踪演练 1 (2018·乌鲁木齐模拟)已知直线 l 的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin θ－ρcos2θ＝0.(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标．解 (1) sin θ－ρcos2θ＝0，∴ρsin θ－...
