第 2 讲 不等式选讲[考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．热点一 含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a 或 f(x)<－a.(2)|f(x)|
0)⇔－a0.(1)当 a＝3 时，求不等式 f(x)≥5x＋1 的解集；(2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤－1}，求 a 的值．解 (1)当 a＝3 时，不等式 f(x)≥5x＋1 即为|2x－3|＋5x≥5x＋1，∴≥1，解得 x≥2 或 x≤1.∴不等式的解集为{x|x≤1 或 x≥2}．(2)由 f(x)≤0，得＋5x≤0，解得或又 a>0，∴不等式的解集为，由题意得－＝－1，解得 a＝3.思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤① 求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练 1 (2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数 f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)解不等式 f(x)≤3；(2)若函数 g(x)＝＋，若对于任意的 x1∈R，都存在 x2∈R，使得 f(x1)＝g(x2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)依题意，得 f(x)＝由 f(x)≤3，得或或解得－1≤x≤1.即不等式 f(x)≤3 的解集为.(2)由(1)知，f(x)min＝f＝，g(x)＝＋≥＝|a－1|，则|a－1|≤，解得－≤a≤，即实数 a 的取值范围为.热点二 绝对值不等式恒成立(存在)问题定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立．定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．例 2 (2018·江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数 f(x)＝|x＋1|＋|2x＋3|.(1)解不等式 f(x)<2x＋10；(2)若不等式 f(x)≤m|x＋2|有解，求 m 的取值范围．解 (1)f(x)＝由 f(x)<2x＋10，得或或得 x∈.(2)① 若 x＝－2，显然无解；② 若...
