规范答题示例 5 空间中的平行与垂直关系典 例 5 (12 分 ) 如 图 ， 四 棱 锥 P—ABCD 的 底 面 为 正 方 形 ， 侧 面 PAD⊥ 底 面ABCD，PA⊥AD，E，F，H 分别为 AB，PC，BC 的中点．(1)求证：EF∥平面 PAD；(2)求证：平面 PAH⊥平面 DEF.审题路线图 (1)――→――→―→――→(2)――→―→―――――――――――――→――→――→规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板证明 (1)取 PD 的中点 M，连接 FM，AM.∵在△PCD 中，F，M 分别为 PC，PD 的中点，∴FM∥CD 且 FM＝CD.∵在正方形 ABCD 中，AE∥CD 且 AE＝CD，∴AE∥FM 且 AE＝FM，∴四边形 AEFM 为平行四边形，∴AM∥EF，4 分∵EF⊄平面 PAD，AM⊂平面 PAD，∴EF∥平面 PAD.6 分第一步 找线线：通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直．第二步 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定(2)∵侧面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，侧面 PAD∩底面 ABCD＝AD，PA⊂平面 PAD，∴PA⊥底面 ABCD，∵DE⊂底面 ABCD，∴DE⊥PA.∵E，H 分别为正方形 ABCD 边 AB，BC 的中点，∴Rt△ABH≌Rt△DAE，则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，∴DE⊥AH，8 分∵PA⊂平面 PAH，AH⊂平面 PAH，PA∩AH＝A，∴DE⊥平面 PAH，∵DE⊂平面 EFD，∴平面 PAH⊥平面 DEF.12 分理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行．第三步 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行．第四步写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.评分细则 (1)第(1)问证出 AE 綊 FM 给 2 分；通过 AM∥EF 证线面平行时，缺 1 个条件扣 1 分；利用面面平行证明 EF∥平面 PAD 同样给分；(2)第(2)问证明 PA⊥底面 ABCD 时缺少条件扣 1 分；证明 DE⊥AH 时只要指明 E，H 分别为正方形边 AB，BC 的中点得 DE⊥AH 不扣分；证明 DE⊥平面 PAH 只要写出 DE⊥AH，DE⊥PA，缺少条件不扣分．跟踪演练 5 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以 AC为折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC；(2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ＝DA，求三棱锥 Q－ABP 的体积．(1)证明 由已知可得，∠BAC＝90°，即 BA⊥AC.又 BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC⊂平面 ACD，所以 AB⊥平面 ACD.又 AB⊂平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC.(2)解 由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.又 BP＝DQ＝DA，所以 BP＝2.如图，过点 Q 作 QE⊥AC，垂足为 E，则 QE∥DC 且 QE＝DC.由已知及(1)可得，DC⊥平面 ABC，所以 QE⊥平面 ABC，QE＝1.因此，三棱锥 Q－ABP 的体积为VQ－ABP＝×S△ABP×QE＝××3×2sin 45°×1＝1.
