第 2 节 不等式的证明最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法
知 识 梳 理1
均值不等式定理 1：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2 ab ，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立
定理 2：如果 a，b>0，那么≥，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均
定理 3：如果 a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立
不等式的证明方法(1)比较法① 作差法(a，b∈R)：a－b>0⇔a > b ；a－b0)：>1⇔a>b；1，x＝a＋，y＝b＋，则 x 与 y 的大小关系是( )A
xb>1 得 ab>1，a－b>0，所以>0，即 x－y>0，所以 x>y
(教材习题改编)已知 a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则 M，N 的大小关系为________
解析 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)
因为 a≥b>0，所以 a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故 2a3－b3≥2ab2－a2b
答案 M≥N4
已知 a>0，b>0 且 ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________
解析 由题意得，a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4
当且仅当 a＝b＝时等号成立
∴＋的最小值是 4
已知 x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy
证明 因为 x>0，y>
