第 9 节 随机变量的数字特征最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.知 识 梳 理1.离散型随机变量的数学期望与方差设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是 p1，p2，…，pn.(1)数学期望：称 E(X)＝x1p1＋ x 2p2＋…＋ x npn 为离散型随机变量 X 的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.(2)方差：称 D ( X ) ＝ ( x 1－ E ( X )) 2 p 1＋ ( x 2－ E ( X )) 2 p 2＋…＋ ( x n－ E ( X )) 2 p n 叫做这个离散型随机变量 X 的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量 X 的标准差.2.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE ( X ) ＋ b .(2)D(aX＋b)＝a 2 D ( X ) (a，b 为常数).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p (1 － p ) .(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np (1 － p ) .诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.( )(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.( )(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.( )(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( )解析 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.已知离散型随机变量 X 的分布列为X123P则 X 的数学期望 E(X)＝( )A. B.2 C. D.3解析 由数学期望公式可得 E(X)＝1×＋2×＋3×＝.答案 A3.(教材习题改编)已知 X 的分布列为X－101P设 Y＝2X＋3，则 E(Y)的值为( )A. B.4 C.－1 D.1解析 E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.答案 A4.设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则 D(X)等于( )A.5 B.8 C.10 D.16解析 因为 E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，所以 D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.答案 B5.(2018·北京海淀区月考)如果随机变量 X～B...
