第 4 节 数系的扩充与复数的引入最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知 识 梳 理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如 a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为 a，虚部为 b若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 a＝0 且b≠0，则 a＋bi 为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a ＝ c 且 b ＝ d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a ＝ c 且 b ＝－ d(a，b，c，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴 叫实轴，y 轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ对应的复数为 z＝a＋bi，则向量OZ的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模|z|＝|a＋bi|＝2.复数的几何意义复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集 C 与复平面内所有以原点 O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数 z＝a＋bi复平面内的点 Z ( a ， b ) (a，b∈R).(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.3.复数的运算设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0).[常用结论与微点提醒]1.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为 b；(2)虚数不可以比较大小.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a＝( )A.－3 B.－2 C.2 D.3解析 因为(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，所以 a－2＝2a＋1，解得 a＝－3.答案 A3.(2017·全国Ⅲ卷)复平面内表示复数 z＝i(－2＋i)的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析 由...
