第 4 讲 不等式与合情推理不等式的性质及解法[考法全练]1．已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，若 a＞b＞1，则一定有( )A．＞ B．sin ax＞sin byC．logax＞logby D．ax＞by解析：选 D．对于 A 选项，不妨令 x＝8，y＝3，a＝5，b＝4，显然＝＜＝，A 选项错误对于 B 选项，不妨令 x＝π，y＝，a＝2，b＝，此时 sin ax＝sin 2π＝0，sin by＝sin ＝，显然 sin ax＜sin by，B 选项错误；对于 C 选项，不妨令 x＝5，y＝4，a＝3，b＝2，此时 logax＝log35，logby＝log24＝2，显然 logax＜logby，C 选项错误；对于 D 选项，因为 a＞b＞1，所以当 x＞0 时，ax＞bx，又 x＞y＞0，所以当 b＞1 时，bx＞by，所以 ax＞by，D 选项正确．综上，选 D．2．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)若 a＞b，则( )A．ln(a－b)＞0 B．3a＜3bC．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|解析：选 C．法一：不妨设 a＝－1，b＝－2，则 a＞b，可验证 A，B，D 错误，只有 C 正确．法二：由 a＞b，得 a－b＞0，但 a－b＞1 不一定成立，则 ln(a－b)＞0 不一定成立，故 A不一定成立．因为 y＝3x在 R 上是增函数，当 a＞b 时，3a＞3b，故 B 不成立．因为 y＝x3在 R 上是增函数，当 a＞b 时，a3＞b3，即 a3－b3＞0，故 C 成立．因为当 a＝3，b＝－6 时，a＞b，但|a|＜|b|，所以 D 不一定成立．故选 C．3．设[x]表示不超过 x 的最大整数(例如：[5.5]＝5，[－5.5]＝－6)，则不等式[x]2－5[x]＋6≤0 的解集为( )A．(2，3) B．[2，4)C．[2，3] D．(2，3]解 析 ： 选 B ． 不 等 式 [x]2 － 5[x] ＋ 6≤0 可 化 为 ([x] － 2)·([x] － 3)≤0 ， 解 得2≤[x]≤3，即不等式[x]2－5[x]＋6≤0 的解集为 2≤[x]≤3.根据[x]表示不超过 x 的最大整数，得不等式的解集为 2≤x＜4.故选 B．4．已知函数 f(x)＝若不等式 f(x)≤5－mx 恒成立，则实数 m 的取值范围是________．解析：作出函数 f(x)的大致图象如图所示，令 g(x)＝5－mx，则 g(x)恒过点(0，5)，由f(x)≤g(x)恒成立，由数形结合得－≤－m≤0，解得 0≤m≤.答案：5．(2019·高考浙江卷)已知 a∈R，函数 f(x)＝ax3－x.若存在 t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，则实数 a 的最大值是________．解析：f(t＋2)－f(t)＝[a(t＋2)3－(t＋2)]－(at3－t)＝2a(3t2＋6t＋4)－2，因为存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，所以－≤2a(3t2＋6t＋4)－...
