第 5 讲 计数原理与二项式定理两个计数原理[考法全练]1．甲、乙两人都计划在国庆节的七天假期中，到东亚文化之都——泉州“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有( )A．16 种 B．18 种C．20 种 D．24 种解析：选 C．任意相邻两天组合在一起，一共有 6 种情况：①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦.若甲选①②或⑥⑦，则乙各有 4 种选择，若甲选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则乙各有 3 种选择，故他们不同一天出现在泉州的出游方案共有 2×4＋4×3＝20(种)．2．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足 a1＜a2 且 a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，那么所有凸数的个数为( )A．240 B．204C．729 D．920解析：选 A．分 8 类，当中间数为 2 时，有 1×2＝2(个)；当中间数为 3 时，有 2×3＝6(个)；当中间数为 4 时，有 3×4＝12(个)；当中间数为 5 时，有 4×5＝20(个)；当中间数为 6 时，有 5×6＝30(个)；当中间数为 7 时，有 6×7＝42(个)；当中间数为 8 时，有 7×8＝56(个)；当中间数为 9 时，有 8×9＝72(个)．故共有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．3．某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成 5 块区域，如图．社区准备从 4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉的颜色不能相同，则不同种植方法的种数为( )A．96 B．114C．168 D．240解析：选 C．先在 a 中种植，有 4 种不同方法，再在 b 中种植，有 3 种不同方法，再在 c中种植，若 c 与 b 同色，则 d 有 3 种不同方法，若 c 与 b 不同色，c 有 2 种不同方法，d 有 2种不同方法，再在 e 中种植，有 2 种不同方法，所以共有 4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)，故选 C．4．用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字且大于 3 000 的四位数，这样的四位数有________个．解析：①当千位上的数字为 4 时，满足条件的四位数有 A＝24(个)；② 当千位上的数字为 3 时，满足条件的四位数有 A＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有 24＋24＝48(个)．答案：485．将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人，每人 1 张，则不同分法的种数是________．解析：按分步来完成此事．第 1 张有 10 种分法，第 2 张有 9 种分法，...
