第 1 讲 等差数列与等比数列[做真题]题型一 等差数列1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则( )A．an＝2n－5 B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n解析：选 A．法一：设等差数列{an}的公差为 d，因为所以解得所以 an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选 A．法二：设等差数列{an}的公差为 d，因为所以解得选项 A，a1＝2×1－5＝－3；选项 B，a1＝3×1－10＝－7，排除 B；选项 C，S1＝2－8＝－6，排除 C；选项 D，S1＝－2＝－，排除 D．故选 A．2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )A．－12 B．－10C．10 D．12解析：选 B．设等差数列{an}的公差为 d，因为 3S3＝S2＋S4，所以 3(3a1＋d)＝2a1＋d＋4a1＋d，解得 d＝－a1，因为 a1＝2，所以 d＝－3，所以 a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B．3．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a3，a6成等比数列，则{an}前 6 项的和为( )A．－24 B．－3C．3 D．8解析：选 A．设等差数列{an}的公差为 d，因为 a2，a3，a6成等比数列，所以 a2a6＝a，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，又 a1＝1，所以 d2＋2d＝0，又 d≠0，则 d＝－2，所以 a6＝a1＋5d＝－9，所以{an}前 6 项的和 S6＝×6＝－24，故选 A．4．(2019·高考全国卷Ⅲ)记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2＝3a1，则＝________．解析：设等差数列{an}的公差为 d，由 a2＝3a1，即 a1＋d＝3a1，得 d＝2a1，所以＝＝＝＝4.答案：4题型二 等比数列1．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4 项和为 15，且 a5＝3a3＋4a1，则 a3＝( )A．16 B．8C．4 D．2解析：选 C．设等比数列{an}的公比为 q，由 a5＝3a3＋4a1得 q4＝3q2＋4，得 q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以 q＝2，又 a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以 a1＝1，所以 a3＝a1q2＝4.2．(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( )A．1 盏 B．3 盏C．5 盏 D．9 盏解析：...
