第 1 讲 等差数列与等比数列 [做真题]1．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝，a＝a6，则 S5＝________．解析：通解：设等比数列{an}的公比为 q，因为 a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以 a1q＝1，又 a1＝，所以 q＝3，所以 S5＝＝＝.优解：设等比数列{an}的公比为 q，因为 a＝a6，所以 a2a6＝a6，所以 a2＝1，又 a1＝，所以 q＝3，所以 S5＝＝＝.答案：2．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅲ)记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和．若 a3＝5，a7＝13，则 S10＝____________．解析：通解：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意，得解得所以 S10＝10×1＋×2＝100.优解：由题意，得公差 d＝(a7－a3)＝2，所以 a4＝a3＋d＝7，所以 S10＝＝5(a4＋a7)＝100.答案：1003．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设 bn＝log2an，求数列{bn}的前 n 项和．解：(1)设{an}的公比为 q，由题设得2q2＝4q＋16，即 q2－2q－8＝0.解得 q＝－2(舍去)或 q＝4.因此{an}的通项公式为 an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得 bn＝(2n－1)log2 2＝2n－1，因此数列{bn}的前 n 项和为 1＋3＋…＋2n－1＝n2.4．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设 bn＝.(1)求 b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．解：(1)由条件可得 an＋1＝an.将 n＝1 代入得，a2＝4a1，而 a1＝1，所以，a2＝4.将 n＝2 代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.从而 b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．由条件可得＝，即 bn＋1＝2bn，又 b1＝1，所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．(3)由(2)可得＝2n－1，所以 an＝n·2n－1.[明考情]等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前 n 项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题． 等差、等比数列的基本运算(综合型) [知识整合] 等差数列的通项公式及前 n 项和公式an＝a1＋(n－1)d；Sn＝＝na1＋d(n∈N*)． 等比数列的通项公式及前 n 项和公式an＝a1qn－1(q≠0)；Sn＝＝(q≠1)(n∈N*)．[典型例题] (2019·高考全国卷Ⅰ)记 S...
