第 2 讲 数列的性质与求和 [做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2＝3a1，则＝________．解析：设等差数列{an}的公差为 d，由 a2＝3a1，即 a1＋d＝3a1，得 d＝2a1，所以＝＝＝＝4.答案：42．(2017·高考全国卷Ⅲ)设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前 n 项和．解：(1)因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以 an＝(n≥2)．又由题设可得 a1＝2，从而{an}的通项公式为 an＝(n∈N*)．(2)记{}的前 n 项和为 Sn.由(1)知＝＝－.则 Sn＝－＋－＋…＋－＝.[明考情]1．高考对数列性质的考查主要以选择、填空题的形式出现，考查数列的周期性、单调性、数列最值等，难度中等．2．高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的前 n 项和，难度中等偏下． 数列的性质(综合型) [典型例题] (1)已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则 S2 020＝( )A．3 B．2C．1 D．0(2)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝，an＋2an＋1＝0，则 Sn－的最大值与最小值的积为____________．【解析】 (1)因为 an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，所以 a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为 6 的周期数列，且每连续 6 项的和为 0，故 S2 020＝336×0＋a2 017＋a2 018＋a2 019＋a2 020＝a1＋a2＋a3＋a4＝3.(2)因为 an＋2an＋1＝0，所以＝－，所以等比数列{an}的公比为－，因为 a1＝，所以 Sn＝＝1－.① 当 n 为奇数时，Sn＝1＋，Sn随着 n 的增大而减小，则 1＜Sn≤S1＝，故 0＜Sn－≤；② 当 n 为偶数时，Sn＝1－，Sn随着 n 的增大而增大，则＝S2≤Sn＜1，故－≤Sn－＜0.综上，Sn－的最大值与最小值分别为，－.故 Sn－的最大值与最小值的积为×＝－.【答案】 (1)A (2)－判断数列的增减性的方法函数法：构造函数，通过判断所构造函数的增减性，即可得出相应数列的增减性．定义法：利用增减数列的定义判断数列的增减性．作差法：对于数列中任意相邻的两项 an＋1，an，通过作差 an＋1－an，判断其与 0 的大小，即可判断数列的增减性．作商法：数列的各项非零且同号(同正或同负)，对于数列中...
