第 3 讲 导数的简单应用[做真题]题型一 导数的几何意义1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x解析：选 D．法一：因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以 2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以 a＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为 y＝x.故选 D．法二：因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得 a＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为 y＝x.故选 D．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线 y＝aex＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，则( )A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1解析：选 D．因为 y′＝aex＋ln x＋1，所以 y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为 y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即 y＝(ae＋1)x－1，所以解得3．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线 y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为 y＝2ln(x＋1)，所以 y′＝.当 x＝0 时，y′＝2，所以曲线 y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为 y－0＝2(x－0)，即 y＝2x.答案：y＝2x4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝ln x＋2 的切线，也是曲线 y＝ln(x＋1)的切线，则 b＝________．解析：设 y＝kx＋b 与 y＝ln x＋2 和 y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为 y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，化简得 y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，依题意，解得 x1＝，从而 b＝ln x1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 2题型二 导数与函数的单调性、极值与最值1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则 f(x)的极小值为( )A．－1 B．－2e－3C．5e－3 D．1解析：选 A．因为 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以 f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是 x2＋(...
