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(新课标)高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第4讲 导数与不等式学案 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学学案

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第 4 讲 导数与不等式证明不等式构造函数证明不等式:构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数单调性、极值、最值加以证明.常见的构造方法有:(1)直接构造法:证明不等式 f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数 h(x)=f(x)-g(x);(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如 ln x≤x-1,ex≥x+1,ln x0),≤ln(x+1)≤x(x>-1);(3)构造“形似”函数:稍作变形再构造,对原不等式同解变形,如移项 、通分、取对数,把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构”构造辅助函数;(4)构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号,导函数零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数 f(x)和 g(x),利用其最值求解.高考真题思维方法【直接构造法】(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=-x+aln x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,证明:<a-2.(1)略(2)证明:由(1)知,f(x)存在两个极值点时,当且仅当 a>2.由于 f(x)的两个极值点 x1,x2满足 x2-ax+1=0,所以 x1x2=1,不妨设 x11.由于=--1+a=-2+a=-2+a,所以1 时,g′(x)>0.所以 x=1 是 g(x)的最小值点.[关键 3:利用导数研究函数的单调性、最值]故当 x>0 时,g(x)≥g(1)=0.[关键 4:利用函数最值使放缩后的不等式得到证明]因此,当 a≥时,f(x)≥0.【构造双函数法】(2014·高考课标全国卷Ⅰ) 设函数 f(x)=aexln x+,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=e(x-1...

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