第 2 讲 不等式选讲 [做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知 f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)＜0 的解集；(2)若 x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求 a 的取值范围．解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当 x<1 时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当 x≥1 时，f(x)≥0.所以，不等式 f(x)<0 的解集为(－∞，1)．(2)因为 f(a)＝0，所以 a≥1.当 a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明：(1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又 abc＝1，故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立．所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为 a，b，c 为正数且 abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[明考情]1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用． 含绝对值不等式的解法(综合型) [知识整合]|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c 型不等式的解法(1)若 c＞0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c，然后根据 a，b 的取值求解即可．(2)若 c＜0，则|ax＋b|≤c 的解集为∅，|ax＋b|≥c 的解集为 R.[典型例题] (2019·安徽五校联盟第二次质检)已知 f(x)＝|x|＋2|x－1|.(1)解不等式 f(x)≥4；(2)若不等式 f(x)≤|2a＋1|有解，求实数 a 的取值范围．【解】 (1)不等式 f(x)≥4，即|x|＋2|x－1|≥4，等价于或或⇒x≤－或无解或 x≥2.故不等式的解集为∪[2，＋∞)．(2)f(x)≤|2a＋1|有解等价于 f(x)min≤|2a＋1|.f(x)＝|x|＋2|x－1|＝故 f(x)的最小值为 1，所以 1≤|2a＋1|，得 2a＋1≤－1 或 2a＋1≥1，解得 a≤－1 或 a≥0，故实数 a 的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤① 求零点；② 划区间、去绝对值号；③ 分别解去掉绝对值的不等式(组)；④ 取每...
