第 2 讲 空间点、线、面的位置关系 [做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是( )A．α 内有无数条直线与 β 平行B．α 内有两条相交直线与 β 平行C．α，β 平行于同一条直线D．α，β 垂直于同一平面解析：选 B.若 α∥β，则 α 内有无数条直线与 β 平行，反之则不成立；若 α，β 平行于同一条直线，则 α 与 β 可以平行也可以相交；若 α，β 垂直于同一个平面，则 α 与β 可以平行也可以相交，故 A，C，D 中条件均不是 α∥β 的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此 B 中条件是 α∥β 的充要条件．故选 B.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE与 CD 所成角的正切值为( )A. B.C. D.解析：选 C.如图，连接 BE，因为 AB∥CD，所以异面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线AE 与 AB 所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为 2，则 CE＝1，BC＝2，由勾股定理得 BE＝.又由 AB⊥平面 BCC1B1可得 AB⊥BE，所以 tan∠EAB＝＝.故选 C.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( ) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC解析：选 C.由正方体的性质，得 A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以 BC1⊥平面 A1B1CD，又 A1E⊂平面 A1B1CD，所以 A1E⊥BC1，故选 C.4．(2019·高考全国卷Ⅱ)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面 EB1C1；(2)若 AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥 EBB1C1C 的体积．解：(1)证明：由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE⊂平面 ABB1A1，故 B1C1⊥BE.又 BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以 BE⊥平面 EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故 AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作 EF⊥BB1，垂足为 F，则 EF⊥平面 BB1C1C，且 EF＝AB＝3.所以四棱锥 EBB1C1C 的体积 V＝×3×6×3＝18.[明考情]1．以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度中等．2．以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透． 空间线面位置关系的判断(基础型) [知识整合]判...
