第 1 讲 概率、离散型随机变量及其分布列[做真题]题型一 古典概型1．(2019·高考全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是( )A． B．C． D．解析：选 A．由 6 个爻组成的重卦种数为 26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有 3 个阳爻的种数为 C＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率 P＝＝.故选 A．2．(2018·高考全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30＝7＋23.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )A． B．C． D．解析：选 C．不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，从中随机选取两个不同的数有 C 种不同的取法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的有 3对，所以所求概率 P＝＝，故选 C．题型二 几何概型1．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则( )A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3解析：选 A．法一：设直角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为 S1＝bc，区域Ⅱ的面积 S2＝π×＋π×－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以 S1＝S2，由几何概型的知识知 p1＝p2，故选 A．法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则 BC＝2，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为 S1＝×2×2＝2，区域Ⅱ的面积 S2＝π×12－＝2，区域Ⅲ的面积 S3＝－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得 p1＝p2＝，p3＝，所以 p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选 A．2．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点 ，则此点取自黑色部分的概率是( )A． B．C． D．解析：选 B．不妨...
