第 1 讲 直线与圆[做真题]题型一 圆的方程1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a＝( )A．－ B．－C． D．2解析：选 A．由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得＝1，解得 a＝－.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知 a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则解得所以圆的标准方程为(x－)2＋y2＝.答案：(x－)2＋y2＝3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k>0)的直线l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 y＝k(x－1)(k＞0)．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0，故 x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8，解得 k＝－1(舍去)，k＝1.因此 l 的方程为 y＝x－1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线 x＋y＋2＝0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x－2)2＋y2＝2 上，则△ABP 面积的取值范围是( )A．[2，6] B．[4，8]C．[，3] D．[2，3] 解析：选 A．圆心(2，0)到直线的距离 d＝＝2，所以点 P 到直线的距离 d1∈[，3]．根据直线的方程可知 A，B 两点的坐标分别为 A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积 S＝|AB|d1＝d1.因为 d1∈[，3]，所以 S∈[2，6]，即△ABP 面积的取值范围是[2，6]．2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|＝( )A．2 B．8C．4 D．10解析：选 C．设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得所以圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令 x＝0，得 y＝－2＋2 或 y＝－2－2，所以 M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或 M(0，－...
