第 3 讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题最值问题函数最值法：当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)判别式法；(4)单调性法；(5)三角换元法；(6)导数法等．高考真题思维方法【基本不等式法】(2014·高考课标全国卷Ⅰ) 已知点 A(0，－2)，椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 为坐标原点.(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.(1)略(2)当 l⊥x 轴时不合题意，[关键 1：研究直线 l 与 x 轴垂直的情况]故可设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 y＝kx－2 代入＋y2＝1 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当 Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>时，x1，2＝，[关键 2：设出直线方程，并与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求从而|PQ|＝|x1－x2|＝.又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝，所以△OPQ 的面积 S△OPQ＝d|PQ|＝.设＝t，则 t>0，S△OPQ＝＝.因为 t＋≥4，当且仅当 t＝2，即 k＝±时等号成立，且满足Δ>0，[关键 4：换元，利用基本不等式求最值]所以，当△OPQ 的面积最大时，k＝±，l 的方程为 y＝x－2 或 y＝－x－2.【利用函数的单调性求最值】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知点 A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为－.记 M 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；(1)略(2) ① 证明：设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 y＝kx(k>0).由得 x＝±.记 u＝，则 P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)．[关键 1：巧换元，妙设点P、Q、E 的坐标]于是直线 QG 的斜率为，方程为 y＝(x－u).由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0. *设 G(xG，yG)，则－u 和 xG是方程*的解，故 xG＝，由此得 yG＝.(2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P从而直线 PG 的斜率为＝－.在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为 E，连接 QE并延长交 C 于点 G.① 证明：△PQG 是直角三角形；② 求△PQG 面积的最大值.所以 PQ⊥PG，即△PQG 是直角三角形.② 由①得|PQ|＝2u，|PG|＝，[关键 5：利用弦长公式求出 PQ、PG 的表达式]所以△PQG 的面积 S＝|PQ||PG|＝＝.[关键 6：将△PQG 的面积表示成关于 k 的函数]设 t＝k＋，则由 k>0 得 t...
