第 4 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题定点问题1．参数法：参数法解决定点问题的思路：(1)引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为 k)；(2)利用条件找到 k 与过定点的曲线 F(x，y)＝0 之间的关系，得到关于 k 与 x，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．高考真题思维方法(2017·高考全国卷Ⅱ)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：＋y2＝1 上，过 M作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP＝NM.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP·PQ＝1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l过 C 的左焦点 F.(1)略(2)证明：由题意知 F(－1，0)．设 Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，[关键 1：用参数表示 P，Q 的坐标及向量OQ，PF]OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n).由OP·PQ＝1 得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知 m2＋n2＝2，故 3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，[关键2：在OP·PQ＝1 的前提下，证明OQ·PF＝0]即OQ⊥PF.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.[关键 3：利用平面内过一点作一直线的垂线的唯一性，即得直线 l 过点 F]2.由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．高考真题思维方法(2017·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(－1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆 C上.(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B的斜率的和为－1，证明：l 过定点.(1)略(2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为k1，k2.如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x＝t，由题设知 t≠0，且|t|<2，可得 A，B 的坐标分别为，.则 k1＋k2＝－＝－1，得 t＝2，不符合题设.[关键 1：验证直线 l 与 x 轴垂直时，直线过定点的情况]从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．将 y＝kx＋m 代入＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－，x1x2＝.而k1＋k2＝＋＝＋＝.由题设 k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.解得 k＝－.[关键 2：设出直线 l 的方程，并与...
