第 4 讲 圆锥曲线中的最值、范围及存在性问题 [做真题] (2019·高考全国卷Ⅱ)已知 F1，F2是椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求 C 的离心率；(2)如果存在点 P，使得 PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围．解：(1)连接 PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是 2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故 C 的离心率 e＝＝－1.(2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，即 c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②＋＝1.③由②③及 a2＝b2＋c2 得 y2＝.又由①知 y2＝，故 b＝4.由②③及 a2＝b2＋c2 得 x2＝(c2－b2)，所以 c2≥b2，从而 a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故 a≥4.当 b＝4，a≥4 时，存在满足条件的点 P.所以 b＝4，a 的取值范围为[4，＋∞)．[明考情]与圆锥曲线有关的最值、范围及存在性问题是高考命题的热点，直线或圆锥曲线运动变化时，点、直线、曲线之间的关联受到一定范围的制约，于是便产生了对范围的求解、最值的探求这类问题． 最值问题1．几何转化代数法：将常见的几何图形所涉及的结论转化为代数问题求解．常见的几何图形所涉及的结论有：(1)两圆相切时半径的关系；(2)三角形三边的关系式；(3)动点与定点构成线段的和或差的最小值，经常在两点共线的时候取到，注意同侧与异侧；(4)几何法转化所求目标，常用勾股定理、对称、圆锥曲线的定义等．案例关键步(2019·高考江苏卷)如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB(AB 是圆 O 的直径)．规划在公路 l 上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段 PB，QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知点 A，B 到直线 l 的距离分别(1)(2)略(3)先讨论点 P 的位置．[关键 1：分类讨论，计算分析∠OBP 大小不同时，点 P当∠OPB<90°时，线段 PB 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径，点 P 不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段 PB 上任意一点F，OF≥OB，即线段 PB 上所有点到点 O 的距离均不为 AC 和 BD(C，D 为垂足)，测得 AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB的长；(2)在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；(...
