第 16 讲 导数与函数的极值、最值【课程要求】了解函数在某点取得极值的充要条件；会用导数求函数的极值；会求闭区间上的最大(小)值．对应学生用书 p44【基础检测】1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)≠0.( )(2)在(a，b)内，f′(x)≤0 且 f′(x)＝0 的根有有限个，则 f(x)在(a，b)内是减函数．( )[答案] (1)× (2)√2．[选修 2－2p28例 4]设函数 f(x)＝＋lnx，则( )A．x＝为 f(x)的极大值点B．x＝为 f(x)的极小值点C．x＝2 为 f(x)的极大值点D．x＝2 为 f(x)的极小值点[解析]f′(x)＝－＋＝(x>0)，当 02 时，f′(x)>0，∴x＝2 为 f(x)的极小值点．[答案]D3．[选修 2－2p30例 5]函数 y＝x＋2cosx 在区间上的最大值是______________．[解析] y′＝1－2sinx，∴当 x∈时，y′>0；当 x∈时，y′<0.∴当 x＝时，ymax＝＋.[答案]＋4．(多选)如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下面说法正确的是( )A．在(－1，2)上 f(x)是增函数B．在(2，4)上 f(x)是减函数C．当 x＝1 时，f(x)取极大值D．当 x＝2 时，f(x)取极大值[解析]由图象可知 x∈(－1，2)上恒有 f′(x)>0，在 x∈(2，4)上恒有 f′(x)<0，∴f(x)在(－1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，则当 x＝2 时，f(x)取极大值．[答案]ABD 5．若 x＝1 是函数 f(x)＝ax＋lnx 的极值点，则( )A．f(x)有极大值－1B．f(x)有极小值－1C．f(x)有极大值 0D．f(x)有极小值 0[解析]因为 x＝1 是函数 f(x)＝ax＋lnx 的极值点，所以 f′(1)＝0，∴a＋＝0，∴a＝－1，∴f(1)＝－1，f′(x)＝－1＋＝，当 x>1 时，f′(x)<0，当 00，因此 f(x)有极大值－1.[答案]A6．若函数 f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则 f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．[解析]由 f′(x)＝6x2－2ax＝0 得 x＝0，x＝，因为函数 f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点且 f(0)＝1，所以>0，f＝0，因此 2－a＋1＝0，a＝3.从而函数 f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以 f(x)max＝f(0)，f(x)min＝min{f(－1)，f(1)}＝f(－1)，f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.[答案]－3【知识要点】1．函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它...
