第 17 讲 导数与函数的综合问题【课程要求】掌握应用导数求解实际问题的基本题型，提升通过构造函数应用导数解决不等式、方程等问题的能力．对应学生用书 p47【基础检测】1．某品牌电动汽车的耗电量 y 与速度 x 之间的关系为 y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为____________．[解析]令 y′＝x2－39x－40＝0，得 x＝－1 或 x＝40，由于当 040 时，y′>0.所以当 x＝40 时，y 有最小值．[答案]402．从边长为 10cm×16cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为__________cm3.[解析]设盒子容积为 ycm3，盒子的高为 xcm，x∈(0，5)．则 y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x，∴y′＝12x2－104x＋160.令 y′＝0，得 x＝2 或 x＝(舍去)，∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．[答案]1443．若函数 f(x)在 R 上可导，且满足 f(x)－xf′(x)>0，则( ) A．3f(1)f(3)C．3f(1)＝f(3) D．f(1)＝f(3)[解析]由于 f(x)>xf′(x)，则′＝<0 在(0，＋∞)上恒成立，因此在(0，＋∞)上是单调递减函数，∴<，即 3f(1)>f(3)．[答案]B4．已知函数 f＝－1＋lnx，若存在 x0>0，使得 f≤0 有解，则实数 a 的取值范围是( )A．a>2B．a<3C．a≤1D．a≥3[解析]若存在 x0>0，使得 f≤0 有解，则由 f＝－1＋lnx≤0，即≤1－lnx，即 a≤x－xlnx，设 h＝x－xlnx，则 h′＝－lnx，由 h′>0 得 lnx<0，得 01，此时函数递减，即当 x＝1 时，函数 h 取得极大值 h＝1－ln1＝1，即 h≤1，若 a≤x－xlnx 有解，则 a≤1，故选 C.[答案]C5．若函数 f(x)＝x2ex－a 恰有三个零点，则实数 a 的取值范围是( )A.B.C．(0，4e2) D．(0，＋∞)[解析]函数 y＝x2ex－a 的导数为 y′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)，令 y′＝0，则 x＝0 或－2，当－2＜x＜0 上时，y′<0，函数单调递减，当 x∈(－∞，－2)或(0，＋∞)时，y′>0，函数在两个区间上单调递增，∴函数 f(x)在 x＝－2 处取极大值，在 x＝0 处取极小值，函数的极值为：f(0)＝－a，f(－2)＝4e－2－a，已知函数 f(x)＝x2ex－a 恰有三个零点，故－a<0，且 4e－2－a>0，解得实数 a 的取值范围是.[答案]B【知识要点】1．优化问题与实际问题相关的利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题．2．导数在...
