第 20 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式【课程要求】1．掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式．2．会应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式进行求值，化简，证明等．对应学生用书 p56【基础检测】1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成立．( )(2)对任意角 α 都有 1＋sinα＝.( )(3)y＝3sinx＋4cosx 的最大值是 7.( )(4)公式 tan(α＋β)＝可以变形为 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．[必修 4p127T2]若 cosα＝－，α 是第三象限的角，则 sin 等于( ) A．－B.C．－D.[解析] α 是第三象限角，∴sinα＝－＝－，∴sin＝－×＋×＝－.[答案]C3 ． [ 必 修 4p147T2] 已 知 cosα ＋ cosβ ＝ ， sinα ＋ sinβ ＝ ， 则 cos(α － β) ＝________．[解析]因为(cosα＋cosβ)2＝cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝，(sinα＋sinβ)2＝sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝，两式相加得 2＋2cos(α－β)＝，所以 cos(α－β)＝－.[答案]－4．[必修 4p146T4]tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°＝________．[解析] tan60°＝tan(10°＋50°)＝，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝－tan10°tan50°，∴原式＝－tan10°tan50°＋tan10°tan50°＝.[答案]5．化简：＝________．[解析]原式＝＝＝＝.[答案]6．已知 θ∈，且 sin＝，则 tan2θ＝________．[解析]法一：sin＝，得 sinθ－cosθ＝，①θ∈，①平方得 2sinθcosθ＝，可求得 sinθ＋cosθ＝，∴sinθ＝，cosθ＝，∴tanθ＝，tan2θ＝＝－.法二： θ∈且 sin＝，∴cos＝，∴tan＝＝，∴tanθ＝.故 tan2θ＝＝－.[答案]－7．已知 tanα，tanβ 是方程 x2＋3x＋4＝0 的两根，若 α，β∈，则 α＋β＝________．[解析]由题可得 tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，所以 tanα<0，tanβ<0，因为 α，β∈，所以 α，β∈，α＋β∈，因为 tan(α＋β)＝＝，所以 α＋β＝－.[答案]－【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__α cos __β± cos __α sin __β；cos(α∓β)＝cos__α cos __β± sin __α sin __β；tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2...
