焦半径公式的证明

焦半径公式得证明【寻根】 椭圆得根在哪里？自然想到椭圆得定义:到两定点 F1,F2(|F1F2|=2c)距离之与为定值2a(2a>2c)得动点轨迹(图形)、这里,从椭圆得“根上”找到了两个参数 c 与 a、第一个参数 c,就确定了椭圆得位置;再加上另一个参数 a,就确定了椭圆得形状与大小、比较它们得“身份”来,c 比 a 更“显贵”、遗憾得就是,在椭圆得方程里,却瞧不到 c 得踪影,故有人开玩笑地说:椭圆方程有“忘本”之嫌、为了“正本”,我们回到椭圆得焦点处,寻找 c,并寻找关于 c 得“题根”、 一、用椭圆方程求椭圆得焦点半径公式数学题得题根不等同数学教学得根基,数学教学得根基就是数学概念,如椭圆教学得根基就是椭圆得定义、但就是在具体数学解题时,不一定每次都就是从定义出发,而就是从由数学定义引出来得某些已知结论(定理或公式)出发,如解答椭圆问题时,常常从椭圆得方程出发、 【例 1】 已知点 P(x,y)就是椭圆上任意一点,F1(-c,0)与 F2(c,0)就是椭圆得两个焦点、求证:|PF1|=a+;|PF2|=a -、【分析】 可用距离公式先将|PF1|与|PF2|分别表示出来、然后利用椭圆得方程“消 y”即可、【解答】 由两点间距离公式,可知|PF1|= (1)从椭圆方程解出 (2) 代(2)于(1)并化简,得|PF1|= (-a≤x≤a)同理有 |PF2|= (-a≤x≤a)【说明】 通过例 1,得出了椭圆得焦半径公式r1=a+ex r2=a-ex (e=)从公式瞧到,椭圆得焦半径得长度就是点 P(x,y)横坐标得一次函数、 r1就是 x 得增函数,r2就是 x得减函数,它们都有最大值 a+c,最小值 a-c、从焦半径公式,还可得椭圆得对称性质(关于 x,y 轴,关于原点)、二、用椭圆得定义求椭圆得焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式,虽然过程简便,但容易使人误解,以为焦半径公式得成立就是以椭圆方程为其依赖得、为了瞧清焦半径公式得基础性,我们考虑从椭圆定义直接导出公式来、椭圆得焦半径公式,就是椭圆“坐标化”后得产物,按椭圆定义,对焦半径直接用距离公式即可、【例 2】 P (x,y)就是平面上得一点,P 到两定点 F1(-c,0),F2(c,0)得距离得与为 2a(a>c>0)、试用 x,y得解析式来表示 r1=|PF1|与 r2=|PF2|、【分析】 问题就是求 r1=f(x)与 r2=g(x)、先可视 x 为参数列出关于 r1与 r2得方程组,然后从中得出r1与 r2、【解答】 依题意,有方程组②-③ 得代①于④并整理得 r1-r2= ⑤联立①,⑤ 得 【说明】 椭圆得焦半径公式可由椭圆得定义直接导出,对椭圆得方程有自己得独立性、由于公式中含 c 而...