第 2 讲 数列■真题调研——————————————【例 1】 [2019·全国卷Ⅱ]已知数列{an}和{bn}满足 a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．解：(1)由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因为 a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为的等比数列．由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8, 即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为 a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.所以 an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.【例 2】 [2019·江苏卷]定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”．(1)已知等比数列{an}(n∈N*)满足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求证：数列{an}为“M－数列”；(2)已知数列{bn}(n∈N*)满足：b1＝1，＝－，其中 Sn为数列{bn}的前 n 项和．① 求数列{bn}的通项公式；② 设 m 为正整数．若存在“M－数列”{cn}(n∈N*)，对任意正整数 k，当 k≤m 时，都有 ck≤bk≤ck＋1成立，求 m 的最大值．解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，所以 a1≠0，q≠0.由得解得因此数列{an}为“M－数列”．(2)① 因为＝－，所以 bn≠0.由 b1＝1，S1＝b1，得＝－，则 b2＝2.由＝－，得 Sn＝，当 n≥2 时，由 bn＝Sn－Sn－1，得 bn＝－，整理得 bn＋1＋bn－1＝2bn.所以数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列．因此，数列{bn}的通项公式为 bn＝n(n∈N*)．② 由①知，bk＝k，k∈N*.因为数列{cn}为“M－数列”，设公比为 q，所以 c1＝1，q>0.因为 ck≤bk≤ck＋1，所以 qk－1≤k≤qk，其中 k＝1,2,3，…，m.当 k＝1 时，有 q≥1；当 k＝2,3，…，m 时，有≤lnq≤.设 f(x)＝(x>1)，则 f′(x)＝.令 f′(x)＝0，得 x＝e.列表如下：x(1，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)极大值因为＝<＝，所以 f(k)max＝f(3)＝.取 q＝，当 k＝1,2,3,4,5 时，≤lnq，即 k≤qk，经检验知 qk－1≤k 也成立．因此所求 m 的最大值不小于 5.若 m≥6，分别取 k＝3,6，得 3≤q3，且 q5≤6，从而 q15≥243，且 q15≤216，所以 q 不存在．因此所求 m 的最大值小于 6.综上，所求 m 的最大值为 5.【例 3】 [2019·天津卷]设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知 a1...
