第 3 讲 立体几何■真题调研——————————————【例 1】 [2019·全国卷Ⅰ]如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点．(1)证明：MN∥平面 C1DE；(2)求二面角 A－MA1－N 的正弦值．解：(1)连接 B1C，ME.因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，所以 ME∥B1C，且 ME＝B1C.又因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND＝A1D.由题设知 A1B1綊 DC，可得 B1C 綊 A1D，故 ME 綊 ND，因此四边形 MNDE 为平行四边形，所以 MN∥ED.又 MN⊄平面 EDC1，所以 MN∥平面 C1DE.(2)由已知可得 DE⊥DA.以 D 为坐标原点，DA的方向为 x 轴正方向，DE的方向为 y 轴正方向，DD1的方向为 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，A1A＝(0,0，－4)，A1M＝(－1，，－2)，A1N＝(－1,0，－2)，MN＝(0，－，0)．设 m＝(x，y，z)为平面 A1MA 的法向量，则所以可取 m＝(，1,0)．设 n＝(p，q，r)为平面 A1MN 的法向量，则所以可取 n＝(2,0，－1)．于是 cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角 A－MA1－N 的正弦值为.【例 2】 [2019·全国卷Ⅱ]如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E在棱 AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面 EB1C1；(2)若 AE＝A1E，求二面角 B－EC－C1的正弦值．解：(1)由已知得，B1C1⊥平面 ABB1A1，BE⊂平面 ABB1A1，故 B1C1⊥BE.又 BE⊥EC1，所以 BE⊥平面 EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故 AE＝AB，AA1＝2AB.以 D 为坐标原点，DA的方向为 x 轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz，则 C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，所以CB＝(1,0,0)，CE＝(1，－1，1)，CC1＝(0,0,2)．设平面 EBC 的法向量为 n＝(x，y，z)，则即所以可取 n＝(0，－1，－1)．设平面 ECC1的法向量为 m＝(x1，y1，z1)，则即所以可取 m＝(1,1,0)．于是 cos〈n，m〉＝＝－.所以，二面角 B－EC－C1的正弦值为.【例 3】 [2019·全国卷Ⅲ]图 1 是由矩形 ADEB，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2.(1)证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC⊥平面 ...
