第 8 讲 选修 4－5 不等式选讲■真题调研——————————————【例 1】 [2019·全国卷Ⅰ]已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.解：(1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且 abc＝1，故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为 a，b，c 为正数且 abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.(当且仅当 a＝b＝c＝1 时取等号)所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.【例 2】 [2019·全国卷Ⅱ]已知 f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)＜0 的解集；(2)若 x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求 a 的取值范围．解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当 x＜1 时，f(x)＝－2(x－1)2＜0；当 x≥1 时，f(x)≥0.所以，不等式 f(x)＜0 的解集为(－∞，1)．(2)因为 f(a)＝0，所以 a≥1.当 a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0.所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．【例 3】 [2019·全国卷Ⅲ]设 x，y，z∈R，且 x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3 或 a≥－1.解：(1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当 x＝，y＝－，z＝－时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当 x＝，y＝，z＝时等号成立．因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.由题设知≥，解得 a≤－3 或 a≥－1.【例 4】 [2019·洛阳统考]已知 f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－k|(其中 k≥2)．(1)若 k＝4，求 f(x)＋g(x)<9 的解集；(2)∀x∈[1,2]，不等式 f(x)－g(x)≥k－x 恒成立，求实数 k 的值．1解：(1)若 k＝4，则 f(x)＋g(x)<9，即|x－3|＋|x－4|<9，即或或解得－1
