第 2 讲 数形结合思想思想方法·简明概述以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形为手段、数作为目的的解决数学问题的数学思想.借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段、形作为目的的解决问题的数学思想．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.热点探究·考向调研调研一 判断函数的图象【例 1】 (1)[2019·全国卷Ⅰ]函数 f(x)＝在[－π，π]的图象大致为( )解析： f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除 A； f(π)＝＝>0，∴排除 C； f(1)＝，且 sin1>cos1，∴f(1)>1，∴排除 B，故选 D.答案：D(2)[2019·全国卷Ⅲ]函数 y＝在[－6,6]的图象大致为( )解析： f(x)＝，∴f(－x)＝＝－f(x)，且 x∈[－6,6]，y＝为奇函数，排除 C；当x>0 时，f(x)＝>0 恒成立，排除 D；又 f(4)＝＝＝≈7.97，排除 A，故选 B.1答案：B(3)[2019·浙江卷]在同一直角坐标系中，函数 y＝，y＝loga(a>0，且 a≠1)的图象可能是( )解析：若 0
1，则 y＝是减函数，y＝loga是增函数，结合选项可知，没有符合的图象，故选 D.答案：D方法点睛函数图象的判断可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．调研二 函数的零点与方程的根【例 2】 (1)[2019·浙江卷]设 a，b∈R，f(x)＝若函数 y＝f(x)－ax－b 恰有 3 个零点，则( )A．a<－1，b<0 B．a<－1，b>0C．a>－1，b<0D．a>－1，b>0解析：记 g(x)＝f(x)－ax－b.当 x<0 时，g(x)＝(1－a)x－b，最多有 1 个零点．当x≥0 时，g(x)＝x3－(a＋1)x2－b，g′(x)＝x2－(a＋1)x＝x[x－(a＋1)]．若 a＋1≤0，即a≤－1，则 g′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以 g(x)在[0，＋∞)上最多有 1个零点，因此 g(x)在 R 上最多有 2 个零点，不合题意，所以 a>－1.当 x∈[0，a＋1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当 x∈(a＋1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以当 ...
