第 1 讲 函数与方程思想、数形结合思想高考定位 函数与方程思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在填空题中考查.1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数 y＝f(x)，当 y＞0 时，就转化为不等式 f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.3.数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形、以形想数，做好数形转化第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.热点一 函数与方程思想的应用[应用 1] 不等式问题中的函数(方程)法【例 1－1】 (1)f(x)＝ax3－3x＋1 对于 x∈[－1，1]，总有 f(x)≥0 成立，则 a＝________.(2)设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x＜0 时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且 g(－3)＝0，则不等式 f(x)g(x)＜0 的解集是________.解析 (1)若 x＝0，则不论 a 取何值，f(x)≥0 显然成立；当 x＞0 即 x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为a≥－.设 g(x)＝－，则 g′(x)＝，所以 g(x)在区间上单调递...
