课时分层训练(十五)导数与函数的极值、最值A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()A．y＝x3B．y＝ln(－x)C．y＝xe－xD．y＝x＋D[由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．]2．当函数y＝x·2x取极小值时，x等于()【导学号：31222089】A.B．－C．－ln2D．ln2B[令y′＝2x＋x·2xln2＝0，∴x＝－.经验证，－为函数y＝x·2x的极小值点．]3．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为()A．eB．1C．－1D．－eC[函数y＝lnx－x的定义域为(0∞，＋)．又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1.]4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()【导学号：31222090】A．(－1,2)B．(∞－，－3)∪(6∞，＋)C．(－3,6)D．(∞－，－1)∪(2∞，＋)B[ f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，∴a＞6或a＜－3.]5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()ABCDD[因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0.选项D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.]二、填空题6．函数f(x)＝x3＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________.【导学号：31222091】－[f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.]7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．(∞－，－1)[ y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. 函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.]8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．3023000[设该商品的利润为y元，由题意知，y＝Q(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，则y′＝－3p2－300p＋11700，令y′＝0得p＝30或p＝－130(舍)，当p∈(0,30)时，y′＞0，当p∈(30∞，＋)时，y′＜0，因此当p＝30时，y有最大值，ymax＝23000.]三、解答题9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当a<0时，若函数满足y极大＝1，y极小＝－3，试求y＝f(x)的解析式．[解](1)f′(x)＝－3x2＋2ax.依题意f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，即2ax≥3x2. x＞0，∴2a≥3x，∴2a≥6，∴a≥3，即a的取值范围是[3∞，＋).5分(2) f′(x)＝－3x2＋2ax＝x(－3x＋2a)． a＜0，当x∈时，f′(x)≤0，f(x)递减．当x∈时，f′(x)＞0，f(x)递增．当x∈[0∞，＋)时，f′(x)≤0，f(x)递减.8分∴⇒∴f(x)＝－x3－3x2＋1.12分10．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距18km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．[解](1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝＋.5分(2)因为a＝1，所以y＝＋，y′＝k，8分令y′＝0，得x＝，又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·石家庄一模)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0)，且f(x)的极大值为，则m的值为()【导学号：31222092】A．－B．－C.D.D[由题意可得f(m)＝m3＋am2＋bm＝0，m≠0，则m2＋am＋b＝0①...
