第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式————————————————————————————————[考纲传真]1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝.3．有关公式的变形和逆用(1)公式T(α±β)的变形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；②tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．(2)公式C2α的变形：①sin2α＝(1－cos2α)；②cos2α＝(1＋cos2α)．(3)公式的逆用：①1±sin2α＝(sinα±cosα)2；②sinα±cosα＝sin.4．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．()(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－B.C．－D.D[sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝，故选D.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－，则cos2θ＝()A．－B．－C.D.D[ cos2θ＝＝.又 tanθ＝－，∴cos2θ＝＝.]4．(2017·云南二次统一检测)函数f(x)＝sinx＋cosx的最小值为________．－2[函数f(x)＝2sin的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝________.[由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]三角函数式的化简(1)化简：＝________.(2)化简：.(1)2cosα[原式＝＝2cosα.](2)原式＝＝＝＝cos2x.[规律方法]1.“”三角函数式的化简要遵循三看原则(1)“”一看角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)“”“二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是切”化弦．(3)“”三看结构特征，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练1]化简sin2＋sin2－sin2α＝________.[法一：原式＝＋－sin2α＝1－－sin2α＝1－cos2α·cos－sin2α＝1－－＝.法二：令α＝0，则原式＝＋＝.]三角函数式的求值角度1给角求值(1)＝()A.B.C.D.(2)sin50°(1＋tan10°)＝________.(1)C(2)1[(1)原式＝＝＝＝.(2)sin50°(1＋tan10°)＝sin50°＝sin50°×＝sin50°×＝＝＝＝1.]角度2给值求值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin2α＝()A.B.C．－D．－(2)(2016·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sinα＝2cos2α，则sin＝()A.B.C.D.(1)D(2)A[(1) cos＝，∴sin2α＝cos＝cos2＝2cos2－1＝2×－1＝－.(2)由7sinα＝2cos2α得7sinα＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sinα－2＝0，∴sinα＝－2(舍去)或sinα＝. α为锐角，∴cosα＝，∴sin＝×＋×＝，故选A.]角度3给值求角已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于()A.B.C.D.C[ α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.又sinα＝，∴cosα＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.∴β＝.][规律方法]1.“”给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2“”．给值...
