课时分层训练(二十一)两角和与差的正弦、余弦和正切公式A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知sin2α＝，则cos2等于()【导学号：31222125】A.B.C.D.A[因为cos2＝＝＝＝＝，故选A.]2.等于()A．－B.C.D．1C[原式＝＝＝＝.]3．(2017·杭州二次质检)函数f(x)＝3sincos＋4cos2(x∈R)的最大值等于()A．5B.C.D．2B[由题意知f(x)＝sinx＋4×＝sinx＋2cosx＋2≤＋2＝，故选B.]4．(2016·福建师大附中月考)若sin＝，则cos＝()A．－B．－C.D.A[cos＝cos＝－cos＝－＝－＝－.]5．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于()【导学号：31222126】A.B.C.D.D[依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.故β＝.]二、填空题6.________.[＝＝＝＝.]7．(2016·吉林东北师大附中等校联考)已知0＜θ＜π，tan＝，那么sinθ＋cosθ＝________.－[由tan＝＝，解得tanθ＝－，即＝－，∴cosθ＝－sinθ，∴sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋sin2θ＝sin2θ＝1.∵0＜θ＜π，∴sinθ＝，∴cosθ＝－，∴sinθ＋cosθ＝－.]8．化简＋2＝________.【导学号：31222127】－2sin4[＋2＝＋2＝＋2＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4.]三、解答题9．已知α∈，且sin＋cos＝.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cosβ的值．[解](1)因为sin＋cos＝，两边同时平方，得sinα＝.又＜α＜π，所以cosα＝－.5分(2)因为＜α＜π，＜β＜π，所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.7分又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－×＋×＝－.12分10．已知函数f(x)＝.(1)求函数f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα＝－，求f(α)的值．[解](1)要使f(x)有意义，则需cosx≠0，∴f(x)的定义域是.5分(2)f(x)＝＝＝＝2(cosx－sinx).7分由tanα＝－，得sinα＝－cosα.又sin2α＋cos2α＝1，且α是第四象限角，∴cos2α＝，则cosα＝，sinα＝－.故f(α)＝2(cosα－sinα)＝2＝.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．若＝－，则cosα＋sinα的值为()【导学号：31222128】A．－B．－C.D.C[∵＝＝－(sinα＋cosα)＝－，∴sinα＋cosα＝.]2．已知sinα＋sinβ＝(cosβ－cosα)，α，β∈，则sin3α＋sin3β＝________.0[由已知得：sinα＋cosα＝cosβ－sinβ，即cos＝cos，又α－∈，β＋∈.故α－＝β＋，即α＝β＋.∴sin3α＋sin3β＝sin(3β＋π)＋sin3β＝0.]3．已知函数f(x)＝2sinxsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．[解](1)f(x)＝2sinx＝×＋sin2x＝sin＋.所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.3分由－＋2kπ≤2x≤－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.7分(2)当x∈时，2x－∈，sin∈，9分f(x)∈.故f(x)的值域为.12分
