专题七概率与统计第一讲计数原理、二项式定理适考素能特训理一、选择题1．[2016·广东测试]在6的展开式中，常数项等于()A．－B.C．－D.答案D解析本题考查二项式定理，二项式6的展开式的通项公式为C(x2)6－rr＝rCx12－3r，令12－3r＝0得r＝4，则二项式6的展开式中的常数项为4C＝，故选D.2．[2016·福建质检]四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是()A．72B．96C．144D．240答案C解析本题考查排列组合．先在4位男生中选出2位，易知他们是可以交换位置的，则共有A种取法，然后再将2位女生全排列，共有A种排法，最后将3组男生插空全排列，共有A种排法，综上所述，共有AAA＝144种不同的排法，故选C.3．[2016·武汉调研](x2－x＋1)5的展开式中，x3的系数为()A．－30B．－24C．－20D．20答案A解析本题考查二项式定理．[1＋(x2－x)]5展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2－x)r，r＝0,1,2,3,4,5，Tr＋1展开式的第k＋1项为CC·(x2)r－k(－x)k＝CC(－1)k·x2r－k，r＝0,1,2,3,4,5，k＝0,1，…，r，当2r－k＝3，即或时是含x3的项，所以含x3项的系数为CC(－1)＋CC(－1)3＝－20－10＝－30，故选A.4．[2016·云南统考]10的展开式中x2的系数等于()A．45B．20C．－30D．－90答案A解析 Tr＋1＝(－1)rCxx－10＋r＝(－1)rCx，令－10＋r＝2，得r＝8，∴展开式中x2的系数为(－1)8C＝45.5．[2016·北京一模]设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋…＋a2nx2n，则a2＋a4＋…＋a2n的值为()A.B.C．3n－2D．3n答案B解析(赋值法)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n＝3n.①再令x＝－1得，a0－a1＋a2＋…－a2n－1＋a2n＝1.②令x＝0得a0＝1.由①＋②得2(a0＋a2＋…＋a2n)＝3n＋1，∴a0＋a2＋…＋a2n＝，∴a2＋a4＋…＋a2n＝－a0＝－1＝.6．[2015·山东枣庄四校联考]某班要从A、B、C、D、E五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的A、B、C三人都不连任原职务的分配方法种数为()A．30B．32C．36D．48答案B解析由题意可得分三种情况．①A、B、C三人都入选，则只有2种分配方法；②若A、B、C三人中只有两人入选，则一共有C×C×3＝18种分配方法；③若A、B、C三人中只有一人入选，则一共有C×C×C×A＝12种分配方法．所以一共有2＋18＋12＝32种分配方法，故选B.7．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车．每辆车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有()A．24种B．18种C．48种D．36种答案A解析若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有CCC＝12种，若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则有2名同学来自同一个年级，另外2名分别来自不同年级，有CCC＝12种，所以共有24种乘坐方式，选A.二、填空题8．[2016·唐山统考](x＋3y)3(2x－y)5的展开式中所有项的系数和是________．(用数字作答)答案64解析令x＝y＝1，得所有项的系数和为43＝64.9．[2015·浙江杭州质检二]用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是________．(注：用数字作答)答案48解析根据题意，可以分为两步：第一步将1,3,5分为两组且同一组的两个数排序，共有6种分法；第二步，将第一步的两组看成两个元素，与2,4排列，其中2不在两边且第一步两组(记为a，b)之间必有元素，即4，a,2，b；a,2,4，b；a,4,2，b；a,2，b,4，其中a，b可以互换位置，所以共有8种，根据分步乘法计数原理知，满足题意的五位数共有6×8＝48个．10．[2016·广东四校联考]设a＝sinxdx，则二项式6的展开式中含有x2的项是________．答案－192x2解析本题考查定积分以及二项式定理的应用．因为a＝(－cosx)＝－cosπ＋cos0＝2，所以二项式6展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(2)6－rr＝C·26－r(－1)rx3－r，当r＝1时，为含有x2的项，该项为C·25(－1)x2＝－192x2.二项式展开式的特定项一般利用通项公式求解．11．[2016·贵阳监测]若直线x＋ay－1＝0与2x－y＋5＝0垂直，则二项式5的展开式中x4的...
