专题五立体几何第三讲空间向量与立体几何适考素能特训理一、选择题1．[2015·陕西西安质检]若平面α，β的法向量分别是n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上答案均不正确答案C解析 n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，且不共线．∴α与β相交但不垂直．2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.答案A解析不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)．∴BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)．cos〈BC1，AB1〉＝＝＝，故选A.3．[2016·湖南怀化检测]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．斜交B．平行C．垂直D．MN在平面BB1C1C内答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝，则M，N，MN＝.又C1D1⊥平面BB1C1C，所以C1D1＝(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为MN·C1D1＝0，所以MN⊥C1D1，所以MN∥平面BB1C1C.4．[2014·四川高考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析(1)解法一：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设DC＝DA＝DD1＝1，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，O，并设点P(0,1，t)，且0≤t≤1.则OP＝，A1D＝(－1,0，－1)，A1B＝(0,1，－1)．设平面A1BD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则有即取x0＝1，y0＝－1，z0＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．∴sinα＝|cos〈OP，n〉|＝(0≤t≤1)，∴sin2α＝，0≤t≤1.令f(t)＝，0≤t≤1.则f′(t)＝＝－，可知当t∈时，f′(t)>0；当t∈时，f′(t)≤0.又 f(0)＝，f＝1，f(1)＝，∴fmax(t)＝f＝1，fmin(t)＝f(0)＝.∴sinα的最大值为1，最小值为.∴sinα的取值范围为，故选B.解法二：易证AC1⊥平面A1BD，当点P在线段CC1上从C运动到C1时，直线OP与平面A1BD所成的角α的变化情况：∠AOA1→→∠C1OA1(点P为线段CC1的中点时，α＝)．由于sin∠AOA1＝，sin∠C1OA1＝>，sin＝1，所以sinα的取值范围是，故选B.二、填空题5．[2016·江苏苏州二模]已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为________．答案解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，相关各点的坐标为G(0,0,2)，F(4,2,0)，E(2,4,0)，C(0,0,0)，则CG＝(0,0,2)，GF＝(4,2，－2)，GE＝(2,4，－2)．设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，由得平面GEF是一个法向量为n＝(1,1,3)，所以点C到平面GEF的距离d＝＝.三、解答题6．[2015·甘肃天水一模]如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，SD＝2，∠SDC＝120°.(1)求SC与平面SAB所成角的正弦值；(2)求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．解如图，在平面SCD中，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则有D(0,0,0)，S(0，－1，)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,2,0)．(1)设平面SAB的法向量为n＝(x，y，z)， AB＝(－1,2,0)，AS＝(－2，－1，)，AB·n＝0，AS·n＝0，∴取y＝，得n＝(2，，5)．又SC＝(0,3，－)，设SC与平面SAB所成角为θ，则sinθ＝|cos〈SC，n〉|＝＝，故SC与平面SAB所成角的正弦值为.(2)设平面SAD的法向量为m＝(a，b，c)， DA＝(2,0,0)，DS＝(0，－1，)，则有取b＝，得m＝(0，，1)．∴cos〈n，m〉＝＝＝，故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是.7．[2014·全国卷Ⅰ]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．解(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.又B1O＝CO，故AC＝AB1.(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO....
